La construction d'une courbe de taux zéro-coupon par la méthode dite du 'bootstrapping'

Cet article explique, à l'aide d'un exemple concret, pourquoi et comment on construit une courbe zéro-coupon.

La diversité des courbes de taux

Sur chaque place financière il existe à tout moment, non pas une seule, mais une multitude de . On peut globalement distinguer deux types de courbes:
  • Les courbes observées, ou courbes de marché, qui sont construites directement à partir de cotations sur les marchés (exemples : courbes swap, courbe de rendement des obligations d'Etat)
  • Les courbes implicites, qui sont déduites à partir de cotations de marché, mais en les transformant (exemples : courbe des taux zéro-coupon, courbe des taux de rendement au pair)
Afin de disposer d'une série de données cohérentes, les courbes de taux sont toujours construites en utilisant des d'instruments homogènes. Pour les courbes obligataires, cela signifie notamment que l'on se sert toujours des taux d'un même émetteur ou, s'il s'agit d'une courbe sectorielle, d'émetteurs provenant du même secteur.
Mais de construire une courbe de taux à partir d' “classiques”, dotées d'un , créerait une courbe souffrant d'un certain nombre d'incohérences. Ainsi, par exemple deux obligations ayant la même échéance mais une très différente, n'auront pas le même taux de rendement. De même, deux coupons identiques appartenant à deux obligations de maturité différente ne seront pas actualisés au même taux de rendement, alors qu'ils génèrent un flux strictement identique.

La méthode du bootstrapping

Afin de pallier à ces problèmes, on construit, à partir des prix d'instruments cotés, une courbe de taux zéro-coupon. La technique utilisée pour y parvenir porte le nom bootstrapping ou, en français, méthode de proche en proche.
Cette méthode est basée sur l'hypothèse, que le prix théorique d'une obligation soit la somme de ses flux actualisés aux taux zéro-coupon de l'échéance de chaque flux.

A titre d'illustration, prenons l'exemple d'une obligation ayant une durée de vie de 5 ans et un coupon annuel de 3.5%. En actualisant ses flux en utilisant une série de , dont nous verrons par la suite comment les obtenir, nous pourrons déterminer le prix théorique de cette obligation:

Echéance
du flux en années [n]
Flux de l'obligation [C] Taux ZC pour l'échéance [r] VA du flux de l'obligation [C / (1+r)^n]
1 3.500 2.15% 3.4263
2 3.500 2.64% 3.3223
3 3.500 3.15% 3.1890
4 3.500 3.45% 3.0559
5 103.500 3.63% 86.5990
Prix théorique de l'obligation 99.5926

En appliquant ce concept, nous pourrons construire une courbe zero coupon en partant d'un ensemble d'obligations de différentes maturités. Pour la construction de notre courbe zéro-coupon, prenons par exemple la liste des obligations suivantes comme point de départ:


Titre Maturité
(en années)
Coupon annuel Prix de l'obligation
A 0.5 -- 99.05
B 0.75 -- 98.45
C 1 -- 97.85
D 2 3.500% 101.40
E 3 4.000% 102.20

Les trois premières lignes de titres (A, B et C) sont, en effet, déjà des zéro-coupons, puisqu'ils ne génèrent aucun flux d'intérêt intermédiaire.
C'est généralement le cas des titres du marché monétaire ayant une durée de vie inférieure ou égale à un an qui rémunèrent leurs détenteurs par la différence entre un prix d'émission en-dessous du prix auquel ils seront remboursés. Pour ces titres-là, nous pouvons donc, à partir de leur prix de marché, calculer directement les taux zéro-coupon correspondants :

Titre A de maturité de 6 mois:

\( r_{6m} = \left( \frac{100}{99.05} - 1\right ) \cdot \frac{12}{6} = 1.9182\% \)

Titre B de maturité 9 mois:

\( r_{9m} = \left( \frac{100}{98.45} - 1\right ) \cdot \frac{12}{9} = 2.0992\% \)

Titre C de maturité 1 an:

\( r_{1y} = \left( \frac{100}{97.85} - 1\right ) \cdot \frac{12}{12} = 2.1972\% \)

Les trois taux de rendement ci-dessus ont été calculés à l'aide de cette formule

Ensuite, nous pouvons successivement procéder à la déduction des taux de maturité 2 ans et 3 ans. Connaissant déjà le taux pour l'échéance 1 an (2.1972%), nous pouvons déduire le taux 2 ans comme décrit ci-dessous.

Rappelons-nous d'abord que l'obligation peut être considérée comme un ensemble de zéro-coupons. Son prix (théorique) est donc, par conséquent, équivalent à la somme des valeurs actuelles de ces zéro-coupons.
Pour calculer le taux zéro-coupon de l'échéance 2 ans, nous allons donc décomposer le titre D en deux zéro-coupons: le premier pour un montant de 3.5 (coupon) avec une maturité d'un an et le deuxième d'un montant de 103.5 (coupon plus remboursement du nominal) avec une maturité de deux ans.

Pour le coupon de la première année du titre D (3.50%), nous obtenons, en l'actualisant au taux zéro-coupon de l'échéance 1 an obtenu du titre C (2.1972%), la valeur actuelle suivante:

\( VA(cpn_{2y}) = \frac{3.500}{(1+2.1972\%)} = 3.42475 \)

Nous savons donc maintenant, en déduisant le résultat de ce calcul du prix du titre C, que la valeur actuelle du deuxième “zéro-coupon” est:

\( VA(cpn_{3y}) = 101.40 - 3.42475 = 97.97525 \)

Echéance du flux
(en années)
Montant du flux Taux ZC du flux VA du flux
1 3.50 2.1972% 3.42475
2 103.50 ? 97.97525 *
* = (101.40 - 3.42475) 101.40

Pour obtenir le taux zéro-coupon à deux ans, il suffit de calculer, par itération, le taux auquel il faut placer 97.97525 euros pour obtenir 103.50 au bout de deux ans:

\( 97.97525 \cdot (1+i)^{2} = 103.50 \)

On obtient un taux de i = 2.7808%.

La démarche est ensuite identique pour déterminer le taux zéro-coupon 3 ans. Nous possédons maintenant les taux zéro-coupon à échéance 1 an (2.1972%) et 2 ans (2.7808%).


Echéance du flux
(en années)
Montant Taux ZC du flux VA du flux
1 4.00 2.1972% 3.91400
2 4.00 2.7808% 3.89178
3 104.00 ? 94.39422 *
* = (102.20 - ( 3.914 + 3.89178 ) 102.20

Le taux zéro-coupon 3 ans est, par conséquent, celui qui vérifie l'équation suivante:

\( 94.39422 \cdot (1+i)^{3} = 104.00 \)

On obtient, toujours par itération, un taux de 3.2831%.

Notre courbe de taux zéro-coupon résultante se présente donc comme suit:

Maturité Taux zéro-coupon
6 mois 1.9182%
9 mois 2.0992%
1 an 2.1972%
2 an 2.7808%
3 an 3.2831%

Informations complémentaires

Définitions en rapport avec cet article:

coupon  •  courbe de taux  •  obligation  •  taux de rendement actuariel  •  taux zéro-coupon