Lineare Interpolation Formel

Tag: Finanzmathematik

Beschreibung und Anwendung der linearen Interpolation

Die folgende Formel zeigt, wie ein Wert durch lineare Interpolation berechnet werden kann. Die lineare Interpolation ist ein mathematisches Verfahren, bei dem ein Wert durch Berechnung eines Durchschnittswerts aus zwei bekannten, umgebenden Werten geschätzt wird. Lineare Interpolation wird häufig in der Finanzwelt eingesetzt, beispielsweise zur Schätzung der Rendite oder des Preises von Finanzinstrumenten, insbesondere wenn es um unregelmäßige Zeitintervalle oder fehlende Datenpunkte in einer Zeitreihe geht.

Formel für die lineare Interpolation

\[ y_{i}=y_{1}+(y_{2}-y_{1}) \cdot \frac{(x_{i}-x_{1})}{(x_{2}-x_{1})} \ \]

Legende

\(x_{1}\ \)

Unterer Punkt auf der X-Achse

\(x_{2}\ \)

Höherer Wert auf der X-Achse

\(x_{i}\ \)

Zu interpolierender Punkt auf der X-Achse

\(y_{1}\ \)

Unterer Punkt auf der Y-Achse

\(y_{2}\ \)

Oberer Punkt auf der Y-Achse

Praktisches Beispiel für die Anwendung der linearen Interpolation

Betrachten wir ein Beispiel aus der Finanzwelt, bei dem lineare Interpolation verwendet wird, um die Rendite eines Finanzinstruments zwischen zwei bekannten Datenpunkten zu schätzen. Nehmen wir an, Sie haben folgende Daten zum Ertrag von Anleihen für verschiedene Laufzeiten:

Für eine Laufzeit von 2 Jahren (x₁) beträgt die Rendite 4% (y₁)
Für eine Laufzeit von 5 Jahren (x₂) beträgt die Rendite 5,5% (y₂)

Berechnung

Nun möchten Sie den Ertrag für eine Anleihe mit einer Laufzeit von 3 Jahren (y_i) mithilfe der linearen Interpolation schätzen. Unter Verwendung der obigen Formel ergeben sich die Berechnungsschritte wie folgt:

y_i = 0.04 + (0.055 − 0.04) × ((3 − 2) ÷ (5 − 2))

y_i = 0.04 + 0.015 × ( 1 ÷ 3 )

y_i = 0.04 + 0.005

y_i = 0.045

Ergebnis

Die mit Hilfe der linearen Interpolation ermittelte Rendite beläuft sich für eine Anleihe mit einer Laufzeit von 3 Jahren auf 4,5%.