Les calculs d'intérêts - la valeur temps de l'argent

Vous accepteriez de recevoir 9 500 euros en échange de 10 000 euros ? C’est peu probable. Mais si vous receveriez les 9 500 aujourd'hui, et les 10 000 seront à payer dans un an ? Cela reviendrait à emprunter 9 500 euros pour rembourser 10 000 euros au bout d'un an. Est-ce que ces deux montants peuvent être considérés équivalents ? Seriez-vous gagnant ou, au contraire, perdant ?
Pour pouvoir mener cette petite réflexion à bout, nous avons besoin du concept de la valeur temps de l'argent, qui est la base de notions telles que taux de rendement, taux d'intérêt, taux d'actualisation, coût d'opportunité, inflation et risque.

Le taux d'intérêt

La valeur temps de l'argent reflète la relation entre temps, flux financiers et taux d'intérêt. Toutes choses étant égales par ailleurs, vous préférez sans doute détenir une certaine somme d’argent sur votre compte courant à ce moment même, que de recevoir cette même somme à une date future.
Pour que concédiez néanmoins à mettre cette somme par exemple à la disposition d’une entreprise B, pour un temps donné, celle-ci va devoir vous payer en plus du remboursement de la somme que vous lui aviez prêtée au terme convenu, une indemnisation.

Cette indemnisation, qu’on appelle les intérêts, est composée de trois facteurs :

Le taux d’intérêt réel

Le taux d'intérêt réel constitue votre recompense pour le fait de ne pas avoir pu utiliser l'argent pendant la durée de l'investissement auprès de l’entreprise B, ni pour le consommer, ni pour l’investir ailleurs. On appelle cela le coût d’opportunité.

La prime d’inflation

Lorsqu’on anticipe une hausse du niveau des prix, c’est-à-dire lorsqu’il y a de l’inflation, les investisseurs ne demandent pas seulement une indemnisation pour les coûts d’opportunité, mais également une prime d’inflation qui tient compte de l’augmentation du niveau des prix attendu. Le taux d’intérêt réel plus la prime d’inflation est appelé taux sans risque.

La prime de risque

Si cette entreprise B n’est pas une entreprise publique, mais par exemple une start-up dans le secteur des nouvelles technologies, vous courrez le risque, en leur prêtant de l’argent, de ne pas pouvoir le récupérer, ou de seulement en récupérer une partie. La compensation pour accepter à prendre ce risque s’appelle la prime de risque, et vient se rajouter au coût d’opportunité.

Voici, en résumé, comment est construit un taux d’intérêt :

  Taux d'intérêt réel } Taux d'intérêt sans risque
+ Prime d'inflation
+ Prime de risque    
= Taux d'intérêt    

Chaque problème de valeur-temps de l'argent s'articule autour de cinq variables. Dans la majorité des cas, une de ces variables va à déterminer en utilisant les quatre autres.

Les cinq variables de la valeur temps de l'argent

La valeur présente (VP)

Toute valeur apparaissant au début de l'investissement (cette date de début est souvent désigné comme t0) est une valeur présente. La valeur présente est située avant tout autre flux.

La valeur future (VF)

La valeur future est généralement le dernier flux. C'est un flux qui a lieu a une date située dans le futur. La valeur future est un seul flux. S'il n'est pas unique, il s'agit probablement d'une annuité.

Le nombre de périodes (N)

Le nombre de périodes est la durée totale de l'investissement. Il sera donné comme un nombre d'années, mais fréquemment il y aura un ajustement sur une autre échelle de temps à faire, par exemple si les intérêts sont payés trimestriellement, c'est-à-dire quatre fois par an. Il faudra alors ajuster le nombre de périodes N afin qu'il reflète le nombre de périodes trimestrielles (et non annuelles).

Le taux d'intérêt (i)

Pour un emprunteur, le taux d'intérêt représente le prix de l'argent mis à sa disposition. Pour un investisseur, c'est le taux de croissance du montant investi. Le taux d'intérêt est exprimé en pourcent du montant investi ou emprunté. Le taux d'intérêt indiqué est en règle générale un taux annuel, c'est-à-dire exprimé pour une durée de 1 an.

Les annuités (P)

Les annuités sont des séries de flux financiers (ou “cash flows”) qui ont lieu à des intervalles réguliers. Chaque flux pris individuellement constitue une valeur future, mais la clé est que les annuités sont récurrentes.

Les calculs d'intérêts

Les intérêts représentent le coût pour emprunter de l'argent pour une durée déterminée. Le taux d'intérêt représente ce coût, exprimé en pourcentage de la somme empruntée. Il est généralement indiqué en tant que taux annuel, c'est à dire un an. Ce taux “unique” est en fait composé de trois éléments:

  • Le taux d'intérêt réel
    C'est la rémunération des prêteurs pour ajourner l'utilisation de l'argent pour la durée du prêt.
  • La prime d'inflation
    Cette prime compense le fait que l'inflation érode la valeur de la somme prêtée pendant la durée du prêt.
  • La prime de risque
    Cette prime, dont l'importance est fonction de la qualité financière de l'emprunteur, compense le risque que du prêteur de subir des pertes dû au fait que l'emprunteur ne soit pas en mesure de rembourser tout ou partie du prêt.

Les deux premiers éléments, le taux d'intérêt réel et la prime d'inflation, forment le taux d'intérêt sans risque. Il est généralement proche du niveau des taux de rendement des obligations d'Etat Européens, puisque ces emprunts sont considérés de meilleure qualité possible, donc quasiment libres de risque.

L'intérêt simple

L'intérêt simple est calculé uniquement sur le principal, par opposition à l'intérêt composé,où les intérêts de périodes antérieures génèrent des intérêts à leur tour. Dans le cas de paiements annuels, le montant des intérêts peut être calculé à l'aide de la formule suivante:

\[ I = C \cdot i \cdot N \]

où C est le capital investi, i le taux d'intérêt (annuel) et N le nombre d'années. Si la période est inférieure à un an, la formule change légèrement:

\[ I = C \cdot i \cdot \frac{n}{n_{y}} \]

où n représente le nombre de jours et ny le nombre de jours dans l'année (selon la convention utilisée, 360, 365 ou 366). Dans la pratique, l'intérêt simple est généralement utilisé pour des périodes uniques, inférieures à un an.

L'intérêt composé

Les intérêts composés sont calculés, pour chaque période, sur le principal et tous les intérêts accumulés au cours des périodes antérieures. Les intérêts deviennent à leur tour une partie du capital, on parle donc de la capitalisation des intérêts. Alors que les taux sont généralement exprimés comme taux annuels, les périodes de capitalisation peuvent être semestrielles, trimestrielles, mensuelles, voire continues.

Le taux de rendement

Si nous connaissons la valeur présente d'un investissement (le montant au jour d'aujourd'hui), sa valeur future (le montant que l'investissement va atteindre), et le nombre de périodes, nous pouvons calculer son taux de rendement avec la formule suivante:

\[ r = (\frac{VF}{VP})^{\frac{1}{N}}-1 \]

Taux de rendement effectif

Le taux de rendement effectif est le taux que rapporte un investissement, ou coûte un crédit, en prenant en compte les effets de la fréquence de capitalisation. Pour pouvoir comparer de manière efficace deux taux d'intérêt avec des fréquences de capitalisation différentes, il faut convertir les deux taux affichés en leurs équivalents effectifs.
Le taux effectif d'un investissement sera toujours supérieur au taux nominal (ou affiché), si la fréquence de capitalisation est supérieure à un an (donc par exemple semestrielle ou mensuelle). Plus la fréquence de capitalisation est haute, plus la différence entre le taux nominal et le taux effectif sera importante. La conversion se fait à l'aide de la formule suivante:

\[ r_{e} = (1 + \frac{r}{n})^{n}-1 \]

Exemple:
Question : Quel sera le taux effectif, lorsque le taux annuel nominal est de 6% avec une capitalisation semi-annuelle (deux périodes par an) ?

Solution : \[ r_{e} = (1 + \frac{0.06}{2})^{2} -1 = 0.0609 \] , soit 6.09%

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